Según he podido comprobar con varias personas, hay un pequeño truco que vale en ciertas cuentas de Twitter (no en todas y no tengo todavía claro el patrón de en cuáles sí y en cuáles no) para que aparezca el botón de descargar en un fichero todos los tuits enviados desde esa cuenta desde que se abrió. El contenido de este archivo generado lo describí en este post.
El botón debería aparecer en la parte inferior del apartado «Cuenta», en la edición del perfil de la cuenta de Twitter (justo debajo del selector de país).